3.1. Системы счисления

Представление чисел в компьютере имеет две особенности:

числа записываются в двоичной системе счисления;

для записи и обработки чисел отводится конечное количество разрядов (в «некомпьютерной» арифметике такое ограничение отсутствует).

Способ представления числа определяется системой счисления.

Система счисления – это правило записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков – цифр.

Людьми использовались различные способы записи чисел, которые можно объединить в несколько групп:

Унарная – это система счисления, в которой для записи чисел используется только один знак – | (вертикальная черта, палочка).

Непозиционные. Наиболее распространенной можно считать римскую систему счисления. В ней некоторые базовые числа обозначены заглавными латинскими буквами: 1 – I, 5 – V, 10 – X, 50 – L, 100 – C, 500 – D, 1000 – M. Все другие числа строятся комбинацией базовых в соответствии со следующими правилами:

а) если цифра меньшего значения стоит справа от большей цифры, то их значения суммируются; если слева – то меньшее значение вычитается из большего;

б) цифры I,X,C и M могут следовать подряд не более трех раз каждая;

в) цифры V,L, и D могут использоваться в записи числа не более одного раза.

Позиционные – это системы счисления, в которых значение каждой цифры в изображении числа определяется ее положением (позицией) в ряду других цифр.

Наиболее распространенной и привычной является система счисления, в которой для записи чисел используются 10 цифр: 0,1,2,3,4,5,6,7,8 и 9. Число представляет собой краткую запись многочлена, в который входят степени некоторого числа – основания системы счисления. Например:

575,15 = 5 . 102 +7 . 101 + 5 . 100 + 1 . 10-1 +5 . 10-2.

В данном числе цифра 5 встречается трижды, однако значение этих цифр различно и определяется их положением (позицией) в числе.

Очевидно, что значение целого числа, т.е. общее количество входящих в него единиц, не зависит от способа его представления и остается одинаковым во всех системах счисления; различают только формы представления одного и того же количественного содержания числа.

Например: |||||1 = 510 = 1012 = 516.

В современных ЭВМ используются, в основном, два способа представления двоичных чисел – с фиксированной и плавающей запятой, причем в формате с фиксированной запятой используются как беззнаковое представление чисел, так и представление чисел со знаком. В последнем случае знак также кодируется двоичной цифрой – обычно плюсу соответствует 0, а минусу – 1. Под код знака обычно отводится старший разряд a0 двоичного вектора a0 a1 a2an, называемый знаковым.

Микропроцессор может выполнять целочисленные операции и операции с плавающей запятой. Для этого в его архитектуре есть два отдельных блока:

устройство для выполнения целочисленных операций;

устройство с плавающей запятой.

Каждое из этих устройств имеет свою систему команд. В принципе, целочисленное устройство может взять на себя многие функции устройства с плавающей запятой, но это потребует больших вычислительных затрат. Для большинства задач, использующих язык ассемблера, достаточно целочисленной арифметики.