Исходные данные:

Классический метод:

Операторный метод:

Классический метод:

Рассмотрим схему до коммутации.

Так как в цепи включён источник синусоидального напряжения, расчёт проводим символическим методом.
Реактивное сопротивление индуктивности:

Реактивное сопротивление ёмкости:

Комплексная амплитуда источника:

Комплексное сопротивление цепи относительно источника:

Комплексная амплитуда тока в ветви источника определится по закону Ома:

Мгновенное значение тока в индуктивности запишется в виде:

Полагая в последнем выражении t=0-, получим величину тока в индуктивности непосредственно перед коммутацией:

По законам коммутации ток в индуктивности не может изменяться скачком. Следовательно,

По законам коммутации напряжение на ёмкости не может изменяться скачком. Следовательно,

Принуждённые составляющие тока в индуктивности и напряжения на ёмкости определим по данной схеме:

Комплексное сопротивление цепи относительно источника:

Комплексная амплитуда тока в ветви источника определится по закону Ома:

Мгновенное значение тока в цепи с индуктивностью запишется в виде:

Комплексную амплитуду тока в ветви с ёмкостью определим по правилу плеч:

Комплексную амплитуду напряжения на ёмкости определим по закону Ома:

Мгновенное значение напряжения на ёмкости запишется в виде:

Замыкаем накоротко зажимы источника ЭДС. Разрываем ветвь с ёмкостью. Комплексное входное сопротивление относительно разрыва запишется в виде

Полагая в последнем выражении jw=p, получим:

После выполнения алгебраических преобразований получим характеристическое уравнение второго порядка:

Определим дискриминант квадратного уравнения:

Найдем корни характеристического уравнения:

По виду корней характеристического уравнения записывается свободная составляющая переходного процесса. Так как число корней равно двум и они действительны, то:

Полный переходной процесс в индуквтиности равне сумме принуждённой и свободной составляющих:

В последнем уравнении неизвестными являются А₁ и А₂, следовательно, для их однозначного определения необходимо второе уравнение. Получим его дифференцированием первого:

Полагая в вышеприведённых уравнениях t=0+, получим:

Производная тока в индуктивности в момент коммутации относится к зависимым начальным условиям. Для определения зависимых начальных условий составим систему уравнений по законам Кирхгофа для момента времени t=0+ послекоммутационной схемы:

Выразим первое выражение через третье:

Подставляя численные значения найденных ранее независимых начальных условий i₃(0+), u_c(0+) и значение e(0+)=0, получим:

Тогда уравнения для определения постоянных интегрирования примут вид:

Постоянные интегрирования будут равны:

Окончательное выражение для переходного тока в индуктивности запишется в виде:

Переходной процесс по напряжению по ёмкости рассчитывается аналогично. Записываем выражение для u_c(t) как сумму двух составляющих:

Принуждённая составляющая переходного процесса определена выше. Свободную составляющую ищем в виде суммы экспонент. С учётом этого:

Второе уравнение, необходимое для однозначного определения постоянных интегрирования, получим дифференцированием первого:

Полагая в обоих уравнениях t=0+, получим:

Производная напряжения на ёмкости в момент коммутации относится к зависимым начальным условиям. Определим её значение по выражению:

Значение i₂(0+) определим из системы уравнений по законам Кирхгофа для момента времени t=0+, записанной выше. Тогда:

Уравнения для определения постоянных интегрирования примут вид:

Решая систему уравнений, определим постоянные интегрирования:

Окончательное выражение для переходного тока в индуктивности запишется в виде:

Окончательные выражения для напряжения в индуктивности и тока в емкости определим по следующим выражениям:

При построении графиков переходных процессов прежде всего необходимо определить их длительность. Теоретически переходные процессы длятся бесконечно долго, практически же оканчиваются за время, равное трём постоянным времени t_пп=3t. За это время свободная составляющая переходного процесса будет иметь значение, составляющее 5% от значения при t=0+.
Постоянная времени определяется как величина, обратная минимальному по модулю корню характеристического уравнения:

Следовательно, длительность переходного процесса для рассматриваемой задачи:

Построим графики переходных процессов:
Ток в индуктивности:

Напряжение в ёмкости:

Напряжение в индуктивности:

Ток в ёмкости:

Операторный метод:

Рассчитываем цепь до коммутации:

Ток в цепи с индуктивностью определится выражением:

Напряжение на ёмкости:

Согласно законам коммутации, ток в индуктивности и напряжение на ёмкости в момент коммутации не могут измениться скачком. Следовательно,

Операторная схема замещения послекоммутационной цепи:

Выразим первое выражение через третье:

Определим операторное изображение тока в индуктивности:

Ёмкость на операторной схеме замещения цепи изображается операторным сопротивлением и источником ЭДС, учитывающим ненулевые начальные условия. Поэтому выражение для операторного напряжения на ёмкости запишется в виде

Найдем операторное изображение тока в ёмкости:

Подставляя в операторное изображение напряжения на ёмкости:

Для перехода от найденных операторных изображений тока и напряжения к оригиналам воспользуемся теоремой разложения. Если изображение по Лапласу искомой зависимости представлено в виде отношения 2 полиномов

то оригинал находится по выражению

Для тока в индуктивности:

Решим характеристическое уравнение:

При этом ток в индуктивности i₃(t) в соответствии с теоремой разложения запишется в виде

Коэффициенты при экспонентах в данном случае будут комплексно сопряжёнными, поэтому при суммировании мнимая часть будет равна нулю, и ток в индуктивности можно определить как удвоенное значение вещественной части первого и второго слагаемых:

Выражение для тока в индуктивности:

Переходное напряжение на ёмкости вычислим, используя полученное ранее изображение U_C(p) и свойство линейности преобразования Лапласа. Сумме изображений

будет соответствовать сумма оригиналов

Введём обозначения:

Изображению U₁(p) в области оригиналов будет соответствовать константа

Оригинал u₂(t) определим, используя теорему разложения. Характеристическое уравнение N(p)=0 имеет 3 корня:

Следовательно,

После подстановки численных значений и выполнения всех преобразований, получим:

Выражение для u₂(t) запишется в виде:

Складывая u₁(t) И u₂(t), находим полное переходное напряжение на ёмкости:

При построении графиков переходных процессов, прежде всего, необходимо определить их длительность. Теоретически переходные процессы длятся бесконечно долго, практически же оканчиваются за время, равное трём постоянным времени t_пп=3t. За это время свободная составляющая переходного процесса будет иметь значение, составляющее 5% от значения при t=0+.
Постоянная времени определяется как:

Следовательно, длительность переходного процесса для рассматриваемой задачи:

Построим графики переходных процессов:
Ток в индуктивности:

Напряжение в ёмкости: