Вопросы к экзамену по высшей математике (осенний семестр 2011-2012 уч. г.)
Дифференциальные уравнения
    ДУ — общие понятия и определения. Задача Коши для ДУ 1-го порядка, теорема существования и единственности решения.
    Типы ДУ 1-го порядка: с разделёнными и разделяющимися переменными, однородные и линейные, уравнения Бернулли, уравнения в полных дифференциалах.
    ДУ высших порядков; задача Коши; теорема существования и единственности решения.
    ДУ высших порядков, допускающие понижение порядка.
    -Линейные однородные ДУ, структура их общего решения; определитель Вронского.
    Линейные однородные ДУ с постоянными коэффициентами.
    Линейные неоднородные ДУ, структура их общего решения. Метод вариации произвольных постоянных.
    Линейные неоднородные ДУ с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.
    -Системы ДУ, метод исключения.
    Системы ДУ с постоянными коэффициентами.


Числовые ряды
    Числовой ряд и его сумма. Необходимый признак сходимости ряда.
    Признаки сходимости числовых рядов с положительными членами: сравнения, Даламбера, Коши, интегральный.
    Знакочередующиеся ряды, теорема Лейбница.
    Знакопеременные ряды, абсолютная и условная сходимость ряда.
    -Ряды с комплексными членами.

Функциональные ряды
    -Функциональные ряды, область их сходимости. Равномерная сходимость ряда; признак Вейерштрасса равномерной сходимости.
    -Свойства равномерно сходящихся рядов.
    Степенные ряды; радиус и интервал (круг) сходимости степенного ряда.
    Свойства степенных рядов.
    Ряд Тейлора; критерий разложимости функции в ряд Тейлора.
    Разложения некоторых функций в ряд Тейлора.
    Приложения степенных рядов к вычислению значений функций, некоторых интегралов; нахождение решений ДУ с помощью рядов.
    Ортогональные системы функций; ряды Фурье по ортогональным системам функций.
    Тригонометрические ряды Фурье для периодических функций (периода 2π и 2l).
    Ряды Фурье для функций, заданных на промежутке 0,l.

Теория функций комплексной переменной
    Области и их границы — основные понятия и определения.
    Функции комплексного переменного. Отображение.
    -Последовательность и её предел.
    -Предел функции; понятие непрерывности функции в конечной точке и в бесконечно удалённой точке.
    -Основные трансцендентные функции.
    Производная функции комплексной переменной; условия Коши-Римана.
    Аналитические функции; дифференциал; связь аналитических функций с гармоническими.
    Геометрический смысл модуля и аргумента производной.
    Интеграл от функции комплексной переменной, его свойства.
    -Вычисление контурных интегралов. Теорема Коши для односвязной и многосвязной областей.
    Неопределённый интеграл. Формула Ньютона-Лейбница.
    Интегральная формула Коши. Производные высших порядков от аналитической функции.
    Функциональные ряды; равномерная сходимость ряда; признак Вейерштрасса.
    Степенные ряды; теорема Абеля.
    Ряды Тейлора.
    Ряды Лорана.
    Нули аналитической функции.
    Особые точки функции комплексной переменной (устранимые особые точки, полюсы, существенно особые точки). Связь между нулями и полюсами функции комплексной переменной.
    -Вычет функции в конечной изолированной особой точке. Вычет функции в конечном полюсе и в бесконечно удалённой точке.
    Основная теорема о вычетах и её следствие.