3 сем. 2011 - 2012. Лущакова

Примечания: 

Не сложно.

 3 семестр (ПОИТ, 2011/2012)

Дифференциальные уравнения и системы
1. Дифференциальные уравнения первого порядка. Основные понятия. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка, теорема существования и единственности ее решения. 
2. Уравнения с разделяющимися переменными. Особые решения. 
3. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка. 
4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. 
5. Уравнение Бернулли. 
6. Уравнение в полных дифференциалах.
7. Приближенные методы интегрирования дифференциальных уравнений первого порядка. Метод изоклин. Метод последовательных приближений. Метод  Эйлера решения задачи Коши. 
8. Дифференциальные уравнения высших порядков. Задачи Коши для диффе-ренциальных уравнений высших порядков, теорема существования и един-ственности ее решения. Уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.
9. Линейно зависимые и линейно независимые системы функций. Необходимое условие линейной зависимости функций. Критерий линейной независимости частных решений линейного однородного дифференциального уравнения. 
Структура общего решения линейного однородного дифференциального уравнения. 
10. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. 
11. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения: принцип суперпозиции решений, структура общего решения. Метод вариации постоянных (метод Лагранжа) построения общего решения.
12. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида. 
13. Системы дифференциальных уравнений. Основные понятия. Нормальные системы. Задача Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений, теорема существования и единственности ее решения. Метод исключения.
14. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Числовые и функциональные ряды
15. Числовые ряды. Основные понятия. Действия над рядами. Необходимое условие сходимости ряда. 
16. Интегральный признак сходимости рядов с неотрицательными членами.
17. Признаки сравнения для рядов с неотрицательными членами.
18. Признак Даламбера. Признак Коши.
19. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. 
20. Знакопеременные ряды, ряды с комплексными членами. Абсолютная и условная сходимость. Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов.
21.Равномерная сходимость функционального ряда. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости. 
22. Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов: теоремы о не-прерывности суммы, о почленном дифференцировании и почленном интегри-ровании.
23.Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус и интервал (круг) сходимости степенного ряда. 
24. Свойства степенных рядов.
25. Ряд Тейлора. Критерий разложимости функции в ряд Тейлора. 
26. Основные разложения в ряд Маклорена. Приложения степенных рядов.Теория функций комплексной переменной
27. Понятие функции комплексной переменной. Предел и непрерывность. 
28.Основные элементарные функции комплексной переменной.
29.Производная функции комплексной переменной. Условия Коши-Римана. Аналитические функции. Действительная и мнимая части аналитической функции.
30. Интеграл от функции комплексной переменной, его вычисление и свойства. 31. Интегральная теорема Коши. Первообразная и интеграл аналитической функции. 
32. Интегральная формула Коши. Теорема о производных аналитической функции.
33. Ряды в комплексной области. Свойства функциональных рядов. Степенные ряды. Ряд Тейлора.
34. Ряд Лорана.
35. Нули и изолированные особые точки аналитических функций.
36. Понятие вычета. Основная теорема о вычетах.
37. Вычисление вычетов.
38. Вычисление интегралов вида с помощью вычетов. Ряды Фурье. Интеграл Фурье
39.Скалярное произведение функций. Норма функции. Ортогональные систе-мы функций. Основная тригонометрическая система функций. 
40. Ряды Фурье по ортогональным системам функций.
41. Сходимость в среднем функционального ряда, связь между различными видами сходимости. Экстремальное свойство коэффициентов Фурье. 
42. Неравенство Бесселя. Равенство Парсеваля-Стеклова. Полнота и замкну-тость ортогональной системы функций.
43.Тригонометрические ряды Фурье для периодических функций.
Признак сходимости тригонометрического ряда Фурье (теорема Дирихле).
44. Разложение непериодических функций в тригонометрический ряд Фурье. Ряд Фурье только по косинусам или только по синусам.
45. Комплексная форма тригонометрического ряда Фурье. Понятие о спектре.
46. Интеграл Фурье. Комплексная форма интеграла Фурье. 
47. Преобразования Фурье. Косинус- и синус- преобразования Фурье.
Скачать: