Дифференциальные уравнения и системы

1. Дифференциальные уравнения первого порядка. Основные понятия. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка, теорема существования и единственности ее решения. 

2. Уравнения с разделяющимися переменными. Особые решения. 

3. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка. 

4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. 

5. Уравнение Бернулли. 

6. Уравнение в полных дифференциалах.

7. Приближенные методы интегрирования дифференциальных уравнений первого порядка. Метод изоклин. Метод последовательных приближений. Метод  Эйлера решения задачи Коши. 

8. Дифференциальные уравнения высших порядков. Задачи Коши для диффе-ренциальных уравнений высших порядков, теорема существования и един-ственности ее решения. Уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.

9. Линейно зависимые и линейно независимые системы функций. Необходимое условие линейной зависимости функций. Критерий линейной независимости частных решений линейного однородного дифференциального уравнения. 

Структура общего решения линейного однородного дифференциального уравнения. 

10. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. 

11. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения: принцип суперпозиции решений, структура общего решения. Метод вариации постоянных (метод Лагранжа) построения общего решения.

12. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида. 

13. Системы дифференциальных уравнений. Основные понятия. Нормальные системы. Задача Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений, теорема существования и единственности ее решения. Метод исключения.

14. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Числовые и функциональные ряды

15. Числовые ряды. Основные понятия. Действия над рядами. Необходимое условие сходимости ряда. 

16. Интегральный признак сходимости рядов с неотрицательными членами.

17. Признаки сравнения для рядов с неотрицательными членами.

18. Признак Даламбера. Признак Коши.

19. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. 

20. Знакопеременные ряды, ряды с комплексными членами. Абсолютная и условная сходимость. Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов.

21.Равномерная сходимость функционального ряда. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости. 

22. Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов: теоремы о не-прерывности суммы, о почленном дифференцировании и почленном интегри-ровании.

23.Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус и интервал (круг) сходимости степенного ряда. 

24. Свойства степенных рядов.

25. Ряд Тейлора. Критерий разложимости функции в ряд Тейлора. 

26. Основные разложения в ряд Маклорена. Приложения степенных рядов.Теория функций комплексной переменной

27. Понятие функции комплексной переменной. Предел и непрерывность. 

28.Основные элементарные функции комплексной переменной.

29.Производная функции комплексной переменной. Условия Коши-Римана. Аналитические функции. Действительная и мнимая части аналитической функции.

30. Интеграл от функции комплексной переменной, его вычисление и свойства. 31. Интегральная теорема Коши. Первообразная и интеграл аналитической функции. 

32. Интегральная формула Коши. Теорема о производных аналитической функции.

33. Ряды в комплексной области. Свойства функциональных рядов. Степенные ряды. Ряд Тейлора.

34. Ряд Лорана.

35. Нули и изолированные особые точки аналитических функций.

36. Понятие вычета. Основная теорема о вычетах.

37. Вычисление вычетов.

38. Вычисление интегралов вида с помощью вычетов. Ряды Фурье. Интеграл Фурье

39.Скалярное произведение функций. Норма функции. Ортогональные систе-мы функций. Основная тригонометрическая система функций. 

40. Ряды Фурье по ортогональным системам функций.

41. Сходимость в среднем функционального ряда, связь между различными видами сходимости. Экстремальное свойство коэффициентов Фурье. 

42. Неравенство Бесселя. Равенство Парсеваля-Стеклова. Полнота и замкну-тость ортогональной системы функций.

43.Тригонометрические ряды Фурье для периодических функций.

Признак сходимости тригонометрического ряда Фурье (теорема Дирихле).

44. Разложение непериодических функций в тригонометрический ряд Фурье. Ряд Фурье только по косинусам или только по синусам.

45. Комплексная форма тригонометрического ряда Фурье. Понятие о спектре.

46. Интеграл Фурье. Комплексная форма интеграла Фурье. 

47. Преобразования Фурье. Косинус- и синус- преобразования Фурье.